El matemàtic italià Pietro Mengoli va plantejar el 1644 una pregunta aparentment senzilla: quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats de tots els nombres naturals?
La sèrie convergeix (no arriba a infinit), i els valors aproximats ja se sabien. Però la forma exacta era un misteri. Jacob Bernoulli, Leibniz i molts altres ho van intentar sense èxit durant 90 anys. Bernoulli fins i tot va suplicar públicament que algú hi trobés la solució.
Euler va abordar el problema des d'un angle completament inesperat: comparar dues representacions de la mateixa funció, sin(x)/x.
Euler va partir de la sèrie de Taylor del sinus, que expressa la funció com una suma infinita de potències:
Dividint per x per simplificar l'arrel en zero, s'obté una sèrie equivalent:
La funció sin(x)/x té arrels en x = ±π, ±2π, ±3π… Euler va escriure-la com un producte infinit de factors, un per cada parella d'arrels:
La clau: en expandir el producte infinit, el coeficient de x² és la suma de tots els primers factors de cada parèntesi:
Igualant ambdós coeficients de x² (de la sèrie de Taylor i del producte infinit) i multiplicant per −π²:
El resultat va sorprendre tota la comunitat matemàtica europea. Ningú esperava que una sèrie de nombres enters (1, 4, 9, 16, 25…) pogués tenir com a suma exacta un múltiple del transcendent π, un nombre associat als cercles.
Ajusta el nombre de termes i observa com la suma s'apropa a π²/6 ≈ 1.64493...
Anàlisi matemàtica: va demostrar que sèries infinites de nombres enters poden tenir valors exactes i elegants. Va obrir un camp completament nou.
Funció zeta de Riemann: és el cas ζ(2). Euler va calcular ζ(2k) per a tots els enters parells positius. La famosa Hipòtesi de Riemann sobre els zeros de ζ(s) és el problema obert més important de les matemàtiques.
Teoria de nombres: la probabilitat que dos enters positius escollits a l'atzar siguin coprimers (sense factors comuns) és exactament 6/π² ≈ 60.8%.
Física i enginyeria: la sèrie i la funció zeta apareixen en mecànica quàntica, teoria de cordes i el model estàndard de partícules. Un resultat pur de matemàtiques que impregna la física moderna.
ζ(2) = π²/6
ζ(4) = π⁴/90
ζ(6) = π⁶/945
ζ(8) = π⁸/9450
Per a enters imparells com ζ(3), la forma exacta en termes de π és desconeguda. ζ(3) ≈ 1.2020... s'anomena constant d'Apéry i la seva natura és encara un enigma.